AQA P1/FP01 Series 专题笔记

AQA P1/FP01 Series 专题笔记

学习目标

学习进度

Progress 0%

Congratulations! You've completed all items!

• Part 0: 理解 Series 的大框架

  收敛、求和与积分的关系
• Part 1: 掌握基础知识点

  Arithmetic 和 Geometric Sequence
• Part 2: P1 分类真题

  完成基础题和难题练习
• Part 3: FP01 进阶题型

  Method of differences 等技巧

Reset Progress

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Part 0: The Big Picture

在开始具体知识点之前，我们先站在高处看看 Series 这个话题的全貌。

Series 是什么？

简单说，Series（级数）就是把一列数加起来。但为什么要研究这个呢？

Series 与积分的联系

你可以把 Series 想象成离散版本的积分。积分是求曲线下的面积，而 Series 是把无数个小矩形的面积加起来。当这些矩形越来越窄、越来越多，就无限接近曲线下的真实面积了。

核心问题：收敛（Convergence）

当我们把无限多个数加起来时，会出现两种情况：

• 收敛：和趋近于一个固定的值（如 ）
• 发散：和趋向无穷大（如 ）

这就是为什么我们要研究 Series —— 搞清楚哪些无限和是有意义的，哪些不是。

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Part 1: 核心知识点

01. Sequence & Series 的区别

很多同学容易混淆这两个概念，其实区别很简单：

Question

Answer

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定义

概念	英文	数学表示	举例
数列	Sequence
级数	Series

单调性质

• 单调递增（Increasing）：
• 单调递减（Decreasing）：

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02. 两个重要数列

数学里有成千上万种数列，但考试中 99% 的情况都在考这两种。

(1) Arithmetic Sequence（等差数列）

核心特征：相邻两项之差相等

其中 是 common difference（公差）。

等差数列知三求二

记忆技巧

的公式有两种形式：

• 梯形面积法：
• 首项展开法： 个首项 公差累加

两种方法本质相同，选你觉得顺手的！

重要性质：从等差数列中取出一部分（比如所有奇数项），取出的部分仍然是等差数列。

Question

Answer

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(2) Geometric Sequence（等比数列）

核心特征：相邻两项之商相等

其中 是 common ratio（公比）。

等比数列知三求二

无穷级数的收敛条件（超级重要！）

当 且 时：

反之，如果 ，则 不存在（发散到无穷）。

易错点：Sequence 收敛 vs Series 收敛

这是考试的高频陷阱：

• Series 收敛： 存在
• Sequence 收敛：，如果 ，则 （发散）

为什么？ 如果每一项都趋于某个非零值 ，那么加无限多个 当然是无穷大！

理解收敛

Problem

Show Hints (3)

Hint 1:

Hint 2:

Hint 3:

Show Solution

Solution

重要性质：从等比数列中取出一部分（比如所有奇数项），取出的部分仍然是等比数列。

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03. Binomial Expansion

Note

Binomial Expansion（二项式展开）自成一个题型，此处不展开。如果需要复习，请参考专门的 Binomial 笔记。

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04. Other Sequences（其他数列）

(1) 收敛的 Sequence

如果一个 Sequence 有极限 ，那么：

Question

Answer

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(2) Periodic Sequence（周期数列）

解题技巧：列出前几项找规律！

(3) Recurrence Relations（递推数列）

定义：后一项可以由前一项（或前几项）推出

例子：

解题策略

遇到递推数列，按照题目给的定义一步步算。如果要求 ，就从 算到 ，再算到 ，最后算出 。

别想复杂了，老老实实算就行！

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Part 2: P1 分类真题

P1 考试特点

P1 中的 Series 题目难度适中，主要考察：

• Arithmetic Sequence 基础计算
• Geometric Series 的 和 求解
• 递推数列的概念理解

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题型 1：Arithmetic Sequence 基础题

例题 1：基础计算（P1 2024 June）

问题： Arithmetic Sequence 的第 4 项是 ，公差 。

(i) 求首项

(ii) 求第几项等于 60？

例题 1(i)

Problem

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Solution

例题 1(ii)

Problem

Show Solution

Solution

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例题 2：收敛问题（P1 2024 June）

问题： 两个递推数列：

其中 是常数。已知当 时，两个数列有相同的非零极限 。求 和 。

例题 2：极限求解

Problem

Show Hints (3)

Hint 1:

Hint 2:

Hint 3:

Show Solution

Solution

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易混辨析：Sequence 收敛 vs Series 收敛

情况	条件	Sequence 极限	Series 极限
(1) Series 收敛
(2) Sequence 收敛到非零值			（发散）

为什么情况(2)会发散？

如果 ，那么：

加无限多个非零的 ，当然是无穷大！

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例题 3：部分项求和（P1 2024 June）

问题： 等差数列的第 3、4、6 项分别是：

(a) 证明

(b) 最后一项是 ，求

(c) 求所有偶数项的和

例题 3(a)

Problem

Show Hints (3)

Hint 1:

Hint 2:

Hint 3:

Show Solution

Solution

例题 3(b)

Problem

Show Solution

Solution

例题 3(c)

Problem

Show Hints (3)

Hint 1:

Hint 2:

Hint 3:

Show Solution

Solution

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小结：Arithmetic Sequence

Arithmetic Sequence 题型总结

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真题练习：George 的存钱计划（P1 2025 Jan）

George 计划买电动车，第一个月存 8，一共存 36 个月。

练习 (a)

Problem

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Solution

练习 (b)

Problem

Show Solution

Solution

练习 (c)

Problem

Show Solution

Solution

练习 (d)

Problem

Show Hints (3)

Hint 1:

Hint 2:

Hint 3:

Show Solution

Solution

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题型 2：Geometric Series 难题

P1 考试特点

Geometric Series 一般放在第 9 或 10 题的难题位，但考点非常固定：

• 和 的求解
• 收敛条件
• 从题目描述中识别 Geometric Sequence

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例题 4：求解 （P1 2025 Jan）

问题： 等比数列第二项是 ，无穷级数的和是 。

(a) 证明 ，并求

(b) 求 （所有奇数项的和）

例题 4(a)

Problem

Show Hints (4)

Hint 1:

Hint 2:

Hint 3:

Hint 4:

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Solution

例题 4(b)

Problem

Show Hints (4)

Hint 1:

Hint 2:

Hint 3:

Hint 4:

Show Solution

Solution

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求和公式复习

Summation 性质

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例题 5：面积与周长（P1 2024 June）

问题： 无限个正方形，边长分别是 cm（其中 ）。

• 所有正方形面积之和是 cm²
• 求所有正方形周长之和

例题 5：面积与周长

Problem

Show Hints (3)

Hint 1:

Hint 2:

Hint 3:

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Solution

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小结：Geometric Series

Geometric Series 题型总结

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同类真题练习

练习：求 $b$ 用 $a$ 表示（FP01 真题）

Problem

Show Hints (3)

Hint 1:

Hint 2:

Hint 3:

Show Solution

Solution

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题型 3：递推数列概念题

考试特点

这类题不难，但容易让人措手不及。部分同学只知道 Arithmetic 和 Geometric，突然遇到其他数列会感觉无从下手。

解法：老老实实按照题目给的定义一步步算！

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例题 6：递推关系（P1 2024 Jan）

问题： 数列定义为：

其中 ，。

(a) 证明 的一个可能值是 12，并求另一个可能值

(b) 当 时，求

例题 6(a)

Problem

Show Hints (3)

Hint 1:

Hint 2:

Hint 3:

Show Solution

Solution

例题 6(b)

Problem

Show Solution

Solution

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小结：递推数列

递推数列解题技巧

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同类真题练习（P1 2025 June）

练习：递推数列求参数

Problem

Show Hints (3)

Hint 1:

Hint 2:

Hint 3:

Show Solution

Solution

练习 (b)：求 $u_4$

Problem

Show Hints (3)

Hint 1:

Hint 2:

Hint 3:

Show Solution

Solution

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Part 3: FP01 进阶题型

FP01 vs P1

• FP01 的 Series 知识点本身没有增加
• 但考察重点和难度有所提升
• 考频：隔一张试卷考一题，放在中等到偏难位置

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题型：Method of Differences（差分法）

这是 FP01 的经典题型：对于不是等差也不是等比的数列，如何求和？

核心思想：如果能把 写成两项之差的形式，那么求和时中间项会抵消掉！

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例题 7：Method of Differences（FP01 2024 June）

问题：

(a)(i) 证明：

(a)(ii) 用 method of differences 证明：

(b) 求

(c) 求 的精确值

例题 7(a)(i)

Problem

Show Solution

Solution

例题 7(a)(ii)

Problem

Show Hints (3)

Hint 1:

Hint 2:

Hint 3:

Show Solution

Solution

Telescoping Sum（望远镜和）

这种求和方式叫做 telescoping（像望远镜一样可以收缩），因为中间项会依次抵消。

关键是找到合适的拆分方式，让 。

例题 7(b)

Problem

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Solution

例题 7(c)

Problem

Show Hints (2)

Hint 1:

Hint 2:

Show Solution

Solution

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小结：Method of Differences

Method of Differences 要点

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同类真题练习（FP01 2023 June）

练习：求和公式

Problem

Show Hints (2)

Hint 1:

Hint 2:

Show Solution

Solution

练习 (b)：整除问题

Problem

Show Hints (3)

Hint 1:

Hint 2:

Hint 3:

Show Solution

Solution

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总结与复习清单

Series 专题核心要点

知识点掌握自查

Progress 0%

Congratulations! You've completed all items!

• 能区分 Sequence 和 Series

  理解数列和级数的区别
• 熟练运用等差数列公式

  知三求二，部分项求和
• 熟练运用等比数列公式

  特别是 $S_{\infty}$ 和收敛条件
• 理解收敛与发散

  Sequence 收敛 vs Series 收敛
• 掌握递推数列解法

  按定义一步步计算
• 掌握 Method of Differences

  FP01 必考技巧

Reset Progress

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考试技巧提醒

P1 考试策略

• Arithmetic Sequence：一般是简单题，快速拿分
• Geometric Series：放在难题位（9/10 题），但考点固定，注意 的条件
• 递推数列：按定义算，不要想复杂

FP01 考试策略

• Method of Differences：必考，记得列出前几项找规律
• 求和公式：多练习常见的拆分技巧
• 整除问题：把式子因式分解后逐个检查因子

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延伸学习资源

想进一步提升？试试这些：

• Past Papers：按年份刷真题，总结常考点
• Mark Schemes：重点看 Method marks，理解答题步骤
• 进阶话题：Taylor Series、Power Series（A2/Further Math）

Note

本笔记基于 AQA P1/FP01 真题整理，涵盖了考试中 90% 以上的 Series 题型。祝学习顺利！